- Үлкен алаңды кішкентай бөліктерге үнемдеп бөлуді аралар қайдан үйренді?
- Алты-бұрыш призмаға ұқсатып салынған ұяның бір жақ шетін жабуға қолданылатын материал ысырап болмауы үшін қандай геометриялық тәсіл қолдану керек?
- Аралардың әрнәрсені үнемдеп қолдануы, геометрия білімі және құрылыс маманынан кем түспейтін шеберлігі олардың өте ақылды болуынан ба, әлде Ұлы Жаратушының араларға дарытқан қасиеті ме?
- Дұрыс алтыбұр-ыштың теңбүйірлі үшбұрыш және шаршыдан ұтымды жақтары...
Тарих беттеріне көз жүгіртсек, ара ұясындағы таңғажайып құрылыс жобасы адамдарды әрқашан қызықтырып, таңдандырып келген. Алтыбұрыштарды қатар-қатар дұрыс қою арқылы салынған бұл ұя тамаша есептелген. Қабырғаларының орташа қалыңдығы - 0,1 мм. Бұл орташа мәннен ауытқу да өте аз, ең көп дегенде 0,02 мм ғана ауытқу болуы мүмкін. Ұя салу барысында пайдаланылған геометриялық қағидалардың өте жақсы таңдалып, дәл орнында қолданылғанын түсіну үшін сәл де болса математикадан хабардар болған жөн.
Шеңбер - берілген нүктеден бірдей қашықтықта жатқан жазықтықтың барлық нүктелерінен тұратын геометриялық фигура. Оның периметрін басқа фигуралардың периметрлерімен салыстырғанда, ең аз периметр шеңбер периметрі екенін көреміз. Мысалы, ауданы 10 см2 болатын теңқабырғалы үшбұрыш, шаршы және шеңбердің периметрлерін салыстырған кезде, шеңбердің периметрі ең аз екенін көреміз. Бірақ, ара ұясының құрылысы дәл бұлай жүргізілмейді. Периметрі ең аз фигура қолданыла отырып, ара ұясының барлық алаңы өзара тең кішкентай бөліктерге бөлінеді. Егер бүкіл алаңды ауданы өзара тең кішкентай шеңберлер арқылы бөліктерге бөлсек, жоғарыда атап өткендей периметрі ең аз фигура қолданған боламыз, бірақ көршілес шеңберлердің арасында бос орындар қалады, яғни ол бос орындарға артық материал жұмсалады деген сөз. Ал, бұның үнемшіл араларға ұнамасы сөзсіз.
Сөйтіп, біздің алдымызға ең аз периметрлі және барынша аз материал пайдаланылатын фигура табу мәселесі қойылып отыр. Бұл мәселені шешу үшін геометрия қағидаларына жүгінеміз. Геометриялық фигураларды зерттеу барысында ара ұясын салу құрылысында көпбұрыштарды қолдану қажеттігін байқаймыз. Ендеше, қабырға саны n-ге тең, аудандары өзара тең көпбұрыштар қарастырайық. Бұлардың ішінде периметрі ең аз болатын дұрыс көпбұрыштарды, яғни дұрыс n-бұрыштар екені айқын. Дұрыс көпбұрыш дегеніміз барлық қабырғалары мен бұрыштары бір-біріне тең фигура. Мысалы, ауданы өзара тең үшбұрыштар арасында теңқабырғалы үшбұрыштың периметрі, ал төртбұрыштардың арасында шаршының периметрі ең аз болады. Дәл осылай, бесбұрыш пен алтыбұрыштарды қарастырсақ, ең аз периметр дұрыс бесбұрыш пен дұрыс алтыбұрышта болады. Шеңбердің ішіне әрқашан осындай дұрыс көпбұрыш сызуға болады, оның төбелері шеңбердің қабырғасында орналасады.
Ендігі туындайтын сұрақ, бөліктерге бөлу барысында қандай дұрыс көпбұрыш қолдануымыз керек, яғни қабырға саны қаншаға тең болуы қажет. Шеңбер ішіне сызылған n қабырғалы дұрыс көпбұрыштың бір бөлігі 1-суретте көрсетілген. Суреттен байқайтынымыз көпбұрыштың бір ішкі бұрышы 180 - 360/n градусқа тең. Берілген үлкен алаңды кішкентай бөліктерге бөлу кезінде көршілес көпбұрыштардың бір қабырғалары беттесуі керек және араларында бос орын қалмауы тиіс. Ол үшін көршілес көпбұрыштардың беттескен қабырғаларына тән ішкі бұрыштардың қосындысы 360 градус болуы керек (2-сурет). Басқаша айтар болсақ, бір ішкі бұрыштың натурал еселігі 360 градус болуы тиіс. N – көршілес ішкі бұрыштардың саны деп алсақ, бұл есепті төмендегі теңдеу арқылы беруге болады (N-натурал сан):
N(180 - 360/ n)=360
Жоғарыдағы теңдеуден N санының мәнін былай анықтаймыз:
N=2n /(n-2) = 2 + 4 /(n-2)
N – натурал сан және n – көпбұрыштың қабырға саны (яғни ол да натурал сан) екенін ескерсек, n = 2, 3, 6 екенін тез байқаймыз. 6-дан үлкен сандар үшін N саны натурал болмайды, демек, көпбұрыш қабырғасы 6-дан көп бола алмайды екен. Яғни бір алаңды бос орын қалдырмай бөлгіңіз келсе, теңқабырғалы үшбұрыш, шаршы немесе дұрыс алтыбұрыш қолдануымыз керек. Дұрыс бесбұрыш қажетті шешім бола алмайды. Өйткені, 3-суретте үш дұрыс бесбұрыш қатар-қатар қойылған кезде 36 градустық бос орын қалып қойғанын көруге болады. Ал, дұрыс алтыбұрыштарды қатар-қатар қойған кезімізде ешқандай бос орын болмайды, яғни жоғарыдағы шарттар толық орындалады (4-сурет). Сонымен қатар, ауданы өзара тең теңқабырғалы үшбұрыш, шаршы және дұрыс алтыбұрыштың периметрлерін салыстырған кезде, ең аз периметр дұрыс алтыбұрышта екенін көреміз. Сөйтіп, аз материал қолдану үшін дұрыс алтыбұрыш қолдану керектігін көрсеттік. Аралар да дәл осы әдіс арқылы периметрі (яғни алатын орны) аз, бірақ көлемі (ауданы, сыйымдылығы) үлкен ұя салған.
Көптеген жылдар бойы математик ғалымдарды қызықтырып, ізденіске итермелеген бұл мәселенің түйінін 1999 жылы Mичиган университетінің математигі Toмaс Хaлeс шешкен болатын. Біз 1999 жылға дейін шеше алмай келген бұл сырды аралар қазірге дейін еш жаңылмастан қолданды және одан ары да ешқандай қатеге ұрынбай қолдана бермек. Егер де аралар эволюциялық даму нәтижесінде осы күйге келді десек, онда тарих беттерінде ара ұясында дұрыс алтыбұрыштан басқа да фигуралардың кездес-кені туралы мәлімет болу керек емес пе? Бірақ, ешбір тарихи-ғылыми құжаттарда мұндай дерек кездеспейді. Дарвиннің өзі ара ұясындағы жұмыс күшінің және материалдың өте тамаша үнемделуін көріп таңданысын жасырмаған.
Сіз не дейсіз, құрметті оқырман? Ұя салудағы асқан шеберліктері аралардың білімділігі ме, жоқ әлде оны Жаратушының құдыреттілігі ме?
